Кінетична та потенційна енергія. Закон збереження енергії. Шкільна енциклопедія Момент інерції твердого тіла. Момент імпульсу. Теорема Штейнера

Повна механічна енергія замкнутої системи тіл залишається незмінною

Закон збереження енергії можна подати у вигляді

Якщо між тілами діють сили тертя, закон збереження енергії видозмінюється. Зміна повної механічної енергії дорівнює роботі сил тертя

Розглянемо вільне падіння тіла із деякою висоти h1. Тіло ще не рухається (припустимо, ми його тримаємо), швидкість дорівнює нулю, кінетична енергія дорівнює нулю. Потенційна енергія максимальна, тому що зараз тіло знаходиться вище від землі, ніж у стані 2 або 3.

У стані 2 тіло має кінетичну енергію (оскільки вже розвило швидкість), але при цьому потенційна енергія зменшилася, так як h2 менше h1. Частина потенційної енергії перейшла у кінетичну.

Стан 3 - це стан перед самою зупинкою. Тіло хіба щойно торкнулося землі, причому швидкість максимальна. Тіло має максимальну кінетичну енергію. Потенційна енергія дорівнює нулю (тіло перебуває землі).

Повні механічні енергії рівні між собою, якщо нехтувати силою опору повітря. Наприклад, максимальна потенційна енергія в стані 1 дорівнює максимальній кінетичній енергії в стані 3.

А куди потім зникає кінетична енергія? Зникає безвісти? Досвід показує, що механічний рух ніколи не зникає безвісти і ніколи він не виникає сам собою. Під час гальмування тіла відбулося нагрівання поверхонь. Внаслідок дії сил тертя кінетична енергія не зникла, а перетворилася на внутрішню енергію теплового руху молекул.

За будь-яких фізичних взаємодій енергія не виникає і не зникає, а тільки перетворюється з однієї форми в іншу.

Головне запам'ятати

1) Суть закону збереження енергії

Загальна форма закону збереження та перетворення енергії має вигляд

Вивчаючи теплові процеси, ми розглядатимемо формулу
Під час дослідження теплових процесів не розглядається зміна механічної енергії, тобто

Цей відеоурок призначений для самостійного ознайомлення з темою «Закон збереження механічної енергії». Спочатку дамо визначення повної енергії та замкнутої системи. Потім сформулюємо Закон збереження механічної енергії та розглянемо, у яких галузях фізики можна його застосовувати. Також ми дамо визначення роботи та навчимося її визначати, розглянувши пов'язані з нею формули.

Темою уроку є один із фундаментальних законів природи - закон збереження механічної енергії.

Ми раніше говорили про потенційну і кінетичну енергію, а також про те, що тіло може мати разом і потенційну, і кінетичну енергію. Перш ніж говорити про закон збереження механічної енергії, пригадаємо, що таке повна енергія. Повна механічна енергіяназивають суму потенційної та кінетичної енергій тіла.

Також згадаємо, що називають замкнутою системою. Замкнута система- це така система, в якій знаходиться строго певна кількість тіл, що взаємодіють між собою, і ніякі інші тіла ззовні на цю систему не діють.

Коли ми визначилися з поняттям повної енергії та замкнутої системи, можна говорити про закон збереження механічної енергії. Отже, повна механічна енергія в замкнутій системі тіл, що взаємодіють один з одним за допомогою сил тяжіння або сил пружності (консервативних сил), залишається незмінною за будь-якого руху цих тіл.

Ми вже вивчали закон збереження імпульсу (ЗСІ):

Дуже часто трапляється так, що поставлені завдання можна вирішити лише за допомогою законів збереження енергії та імпульсу.

Розглянути збереження енергії зручно з прикладу вільного падіння тіла з певної висоти. Якщо деяке тіло перебуває у стані спокою на деякій висоті щодо землі, це тіло має потенційної енергією. Як тільки тіло починає свій рух, висота тіла зменшується, зменшується та потенційна енергія. При цьому починає наростати швидкість, з'являється кінетична енергія. Коли тіло наблизилося до землі, то висота тіла дорівнює 0, потенційна енергія теж дорівнює 0, а максимальною буде кінетична енергія тіла. Ось тут і проглядається перетворення потенційної енергії на кінетичну (рис. 1). Те саме можна сказати про рух тіла навпаки, знизу вгору, коли тіло кидають вертикально вгору.

Мал. 1. Вільне падіння тіла з деякою висоти

Додаткове завдання 1. "Про падіння тіла з деякої висоти"

Завдання 1

Умова

Тіло знаходиться на висоті від Землі і починає вільно падати. Визначте швидкість тіла в момент зіткнення із землею.

Рішення 1:

Початкова швидкість тіла. Потрібно знайти.

Розглянемо закон збереження енергії.

Мал. 2. Рух тіла (завдання 1)

У верхній точці тіло має тільки потенційну енергію: . Коли тіло наблизиться до землі, то висота тіла над землею дорівнюватиме 0, а це означає, що потенційна енергія у тіла зникла, вона перетворилася на кінетичну:

Відповідно до закону збереження енергії можемо записати:

Маса тіла скорочується. Перетворюючи зазначене рівняння, отримуємо: .

Остаточна відповідь буде: . Якщо підставити все значення, то отримаємо: .

Відповідь: .

Приклад оформлення розв'язання задачі:

Мал. 3. Приклад оформлення рішення задачі №1

Це завдання можна вирішити ще одним способом, як рух по вертикалі з прискоренням вільного падіння.

Рішення 2 :

Запишемо рівняння руху тіла в проекції на вісь:

Коли тіло наблизиться до поверхні Землі, його координата дорівнюватиме 0:

Перед прискоренням вільного падіння стоїть знак "-", оскільки воно спрямоване проти вибраної осі.

Підставивши відомі величини, отримуємо, що тіло падало протягом часу. Тепер запишемо рівняння для швидкості:

Вважаючи прискорення вільного падіння рівним отримуємо:

Знак мінус означає, що тіло рухається проти спрямування обраної осі.

Відповідь: .

Приклад оформлення розв'язання задачі №1 другим способом.

Мал. 4. Приклад оформлення розв'язання задачі № 1 (спосіб 2)

Також для вирішення цього завдання можна було скористатися формулою, яка не залежить від часу:

Звичайно, слід зазначити, що цей приклад ми розглянули з урахуванням відсутності сил тертя, які насправді діють у будь-якій системі. Звернемося до формул і подивимося, як записується закон збереження механічної енергії:

Додаткове завдання 2

Тіло вільно падає з висоти. Визначте, на якій висоті кінетична енергія дорівнює третині потенційної ().

Мал. 5. Ілюстрація до завдання №2

Рішення:

Коли тіло знаходиться на висоті, воно має потенційну енергію, і тільки потенційну. Ця енергія визначається формулою: . Це буде повна енергія тіла.

Коли тіло починає рухатися вниз, зменшується потенційна енергія, але водночас наростає кінетична. На висоті, яку потрібно визначити, у тіла вже буде деяка швидкість V. Для точки, що відповідає висоті h, кінетична енергія має вигляд:

Потенційна енергія на цій висоті буде позначена таким чином: .

За законом збереження енергії у нас повна енергія зберігається. Ця енергія залишається величиною незмінною. Для точки можемо записати таке співвідношення: (за З.С.Э.).

Згадуючи, що кінетична енергія за умовою завдання становить , можемо записати таке: .

Зверніть увагу: маса та прискорення вільного падіння скорочується, після нескладних перетворень ми отримуємо, що висота, на якій таке співвідношення виконується, становить .

Відповідь:

Приклад оформлення задачі 2.

Мал. 6. Оформлення розв'язання задачі № 2

Уявіть собі, що тіло в деякій системі відліку має кінетичну та потенційну енергію. Якщо система замкнута, то при будь-якій зміні відбувся перерозподіл, перетворення одного виду енергії на інший, але повна енергія залишається за своїм значенням тією самою (рис. 7).

Мал. 7. Закон збереження енергії

Уявіть собі ситуацію, коли горизонтальною дорогою рухається автомобіль. Водій вимикає двигун і продовжує рух вже з вимкненим двигуном. Що тут відбувається (рис. 8)?

Мал. 8. Рух автомобіля

В даному випадку автомобіль має кінетичну енергію. Але ви чудово знаєте, що з часом автомобіль зупиниться. Куди поділася у цьому випадку енергія? Адже потенційна енергія тіла в даному випадку теж не змінилася, вона була якоюсь постійною величиною щодо Землі. Як відбулася зміна енергії? У разі енергія пішла подолання сил тертя. Якщо в системі зустрічається тертя, воно також впливає на енергію цієї системи. Подивимося, як записується у разі зміна енергії.

Змінюється енергія, і це зміна енергії визначається роботою проти сили тертя. Визначити роботу сили тертя ми можемо за допомогою формули, яка відома з 7 класу (сила та переміщення спрямовані протилежно):

Отже, коли ми говоримо про енергію та роботу, то повинні розуміти, що кожного разу ми повинні враховувати і те, що частина енергії витрачається на подолання сил тертя. Здійснюється робота з подолання сил тертя. Робота є величиною, що характеризує зміну енергії тіла.

На закінчення уроку хотілося б сказати, що робота та енергія по суті своїй пов'язані величини через чинні сили.

Додаткове завдання 3

Два тіла – брусок масою та пластилінова кулька масою – рухаються назустріч один одному з однаковими швидкостями (). Після зіткнення пластилінова кулька прилипла до бруска, два тіла продовжують рух разом. Визначити, яка частина механічної енергії перетворилася на внутрішню енергію цих тіл, з урахуванням того що маса бруска в 3 рази більша за масу пластилінової кульки ().

Рішення:

Зміну внутрішньої енергії можна позначити. Як ви знаєте, є кілька видів енергії. Крім механічної існує ще й теплова, внутрішня енергія.

Закон збереження енергії стверджує, що енергія тіла ніколи не зникає і не з'являється знову, вона може лише перетворюватися з одного виду на інший. Цей закон є універсальним. У різних розділах фізики він має своє формулювання. Класична механіка розглядає закон збереження механічної енергії.

Повна механічна енергія замкнутої системи фізичних тіл, між якими діють консервативні сили, є постійною величиною. Так формулюється закон збереження енергії у механіці Ньютона.

Замкненою, чи ізольованою, прийнято вважати фізичну систему, яку не діють зовнішні сили. У ній не відбувається обміну енергією з навколишнім простором, і власна енергія, яку вона володіє, залишається незмінною, тобто зберігається. У такій системі діють лише внутрішні сили і тіла взаємодіють один з одним. У ній можуть відбуватися лише перетворення потенційної енергії на кінетичну і навпаки.

Найпростіший приклад замкнутої системи – снайперська гвинтівка та куля.

Види механічних сил

Сили, що діють усередині механічної системи, прийнято розділяти на консервативні та неконсервативні.

Консервативнимивважаються сили, робота яких залежить від траєкторії руху тіла, якого вони прикладені, а визначається лише початковим і кінцевим становищем цього тіла. Консервативні сили називають також потенційними. Робота таких сил по замкнутому контурі дорівнює нулю. Приклади консервативних сил сила тяжіння, сила пружності.

Всі інші сили називаються неконсервативними. До них відносяться сила тертя та сила опору. Їх називають також дисипативнимисилами. Ці сили за будь-яких рухах у замкнутої механічної системі здійснюють негативну роботу, і за їх дії повна механічна енергія системи зменшується (диссипирует). Вона перетворюється на інші, не механічні види енергії, наприклад, в теплоту. Тому закон збереження енергії в замкнутій механічній системі може виконуватися тільки якщо неконсервативні сили в ній відсутні.

Повна енергія механічної системи складається з кінетичної та потенційної енергії та є їх сумою. Ці види енергій можуть перетворюватися один на одного.

Потенціальна енергія

Потенційну енергію називають енергією взаємодії фізичних тіл чи його частин між собою. Вона визначається їх взаємним розташуванням, тобто, відстанню з-поміж них, і дорівнює роботі, яку треба зробити, щоб перемістити тіло з точки відліку до іншої точки в полі дії консервативних сил.

Потенційну енергію має будь-яке нерухоме фізичне тіло, підняте на якусь висоту, тому що на нього діє сила тяжіння, що є консервативною силою. Таку енергію має вода на краю водоспаду, санки на вершині гори.

Звідки ця енергія з'явилася? Поки фізичне тіло піднімали на висоту, зробили роботу та витратили енергію. Ось ця енергія і запаслася у піднятому тілі. І тепер ця енергія готова до роботи.

Величина потенційної енергії тіла визначається висотою, де знаходиться тіло щодо якогось початкового рівня. За точку відліку ми можемо прийняти будь-яку обрану нами точку.

Якщо розглядати положення тіла щодо Землі, то потенційна енергія тіла лежить на поверхні Землі дорівнює нулю. А на висоті h вона обчислюється за такою формулою:

Е п = m ɡ h ,

де m - маса тіла

ɡ - прискорення вільного падіння

h - Висота центру мас тіла щодо Землі

ɡ = 9,8 м/с 2

При падінні тіла з висоти h 1 до висоти h 2 сила тяжіння здійснює роботу. Ця робота дорівнює зміні потенційної енергії та має негативне значення, оскільки величина потенційної енергії при падінні тіла зменшується.

A = - ( E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

де E п1 - Потенційна енергія тіла на висоті h 1 ,

E п2 - потенційна енергія тіла на висоті h 2 .

Якщо ж тіло піднімають на якусь висоту, то виконують роботу проти тяжкості. І тут вона має позитивне значення. А величина потенційної енергії тіла зростає.

Потенційною енергією володіє і пружно деформоване тіло (стиснена або розтягнута пружина). Її величина залежить від жорсткості пружини і від того, на яку довжину її стиснули або розтягнули, і визначається за такою формулою:

Е п = k · (∆x) 2 / 2 ,

де k - Коефіцієнт жорсткості,

∆x - Подовження або стиснення тіла.

Потенційна енергія пружини може виконувати роботу.

Кінетична енергія

У перекладі з грецької «кінема» означає «рух». Енергія, яку фізичне тіло отримує внаслідок свого руху, називається кінетичної. Її величина залежить від швидкості руху.

Футбольний м'яч, що котиться полем, скотилися з гори і продовжують рухатися санки, випущена з лука стріла - всі вони мають кінетичну енергію.

Якщо тіло перебуває у стані спокою, його кінетична енергія дорівнює нулю. Як тільки на тіло діє сила або кілька сил, воно почне рухатися. А якщо тіло рухається, то сила, що діє на нього, здійснює роботу. Робота сили, під впливом якої тіло зі стану спокою перейде у рух і змінить свою швидкість від нуля до ν , називається кінетичною енергією тіла масою m .

Якщо ж у початковий момент часу тіло вже перебувало у русі, та його швидкість мала значення ν 1 , а в кінцевий момент вона дорівнювала ν 2 , то робота, виконана силою або силами, що діють на тіло, дорівнюватиме прирощенню кінетичної енергії тіла.

∆ E k = E k 2 - E k 1

Якщо напрямок сили збігається з напрямком руху, то відбувається позитивна робота, і кінетична енергія тіла зростає. А якщо сила спрямована у бік, протилежний до напрямку руху, то відбувається негативна робота, і тіло віддає кінетичну енергію.

Закон збереження механічної енергії

Еk 1 + Е п1= Е k 2 + Е п2

Будь-яке фізичне тіло, що знаходиться на якійсь висоті, має потенційну енергію. Але під час падіння воно цю енергію починає втрачати. Куди ж вона поділася? Виявляється, вона нікуди не зникає, а перетворюється на кінетичну енергію цього тіла.

Припустимо , на якійсь висоті нерухомо закріплений вантаж. Його потенційна енергія у цій точці дорівнює максимальному значенню.Якщо ми його відпустимо, він почне падати з певною швидкістю. Отже, почне набувати кінетичної енергії. Але водночас почне зменшуватись його потенційна енергія. У точці падіння кінетична енергія тіла досягне максимуму, а потенційна зменшиться до нуля.

Потенційна енергія м'яча, кинутого з висоти, зменшується, а кінетична енергія зростає. Санки, що перебувають у стані спокою на вершині гори, мають потенційну енергію. Їхня кінетична енергія в цей момент дорівнює нулю. Але коли вони почнуть котитися вниз, кінетична енергія збільшуватиметься, а потенційна зменшуватиметься на таку саму величину. А сума їх значень залишиться незмінною. Потенційна енергія яблука, що висить на дереві, при падінні перетворюється на його кінетичну енергію.

Ці приклади наочно підтверджують закон збереження енергії, який свідчить, що повна енергія механічної системи є величиною постійної . Величина повної енергії системи не змінюється, а потенційна енергія перетворюється на кінетичну і навпаки.

На яку величину зменшиться потенційна енергія, таку ж збільшиться кінетична. Їхня сума не зміниться.

Для замкнутої системи фізичних тіл справедлива рівність
E k1 + E п1 = E k2 + E п2,
де E k1 , E п1 - кінетична та потенційна енергії системи до будь-якої взаємодії, E k2 , E п2 - Відповідні енергії після нього.

Процес перетворення кінетичної енергії в потенційну і навпаки можна побачити, спостерігаючи за маятником, що розгойдується.

Натиснути на картинку

Перебуваючи у вкрай правому становищі, маятник наче завмирає. У цей момент його висота над точкою відліку максимальна. Отже, максимальна та потенційна енергія. А кінетична дорівнює нулю, тому що він не рухається. Але наступної миті маятник починає рух вниз. Зростає його швидкість, отже, збільшується кінетична енергія. Але зменшується висота, зменшується потенційна енергія. У нижній точці вона дорівнюватиме нулю, а кінетична енергія досягне максимального значення. Маятник пролетить цю точку і почне підніматися вгору ліворуч. Почне збільшуватись його потенційна енергія, а кінетична зменшуватиметься. І т.д.

Для демонстрації перетворень енергії Ісаак Ньютон вигадав механічну систему, яку називають колискою Ньютона або кулями Ньютона .

Натиснути на картинку

Якщо відхилити убік, а потім відпустити першу кулю, то її енергія та імпульс передадуться останньому через три проміжні кулі, які залишаться нерухомими. А остання куля відхилиться з такою ж швидкістю і підніметься на таку саму висоту, що й перша. Потім остання куля передасть свою енергію та імпульс через проміжні кулі першому і т.д.

Куля, відведена убік, має максимальну потенційну енергію. Його кінетична енергія у цей момент нульова. Почавши рух, він втрачає потенційну енергію і набуває кінетичної, яка в момент зіткнення з другою кулею досягає максимуму, а потенційна стає рівною нулю. Далі кінетична енергія передається другій, потім третій, четвертій і п'ятій кулях. Останній, отримавши кінетичну енергію, починає рухатися і піднімається на таку ж висоту, на якій знаходилася перша куля на початку руху. Його кінетична енергія в цей момент дорівнює нулю, а потенційна дорівнює максимальному значенню. Далі він починає падати і так само передає енергію куль у зворотній послідовності.

Так триває досить довго і могло б продовжуватись до нескінченності, якби не існувало неконсервативних сил. Але насправді в системі діють дисипативні сили, під впливом яких кулі втрачають свою енергію. Поступово зменшується їх швидкість та амплітуда. І, зрештою, вони зупиняються. Це підтверджує, що закон збереження енергії виконується лише у відсутності неконсервативних сил.

Принцип збереження енергії – абсолютно точний, не зафіксовано випадків його порушення. Це фундаментальний закон природи, із якого випливають інші. Тому важливо правильно розуміти його та вміти застосовувати на практиці.

Фундаментальний принцип

Загального визначення поняття енергії немає. Вирізняють різні її види: кінетичну, теплову, потенційну, хімічну. Але суті це не прояснює. Енергія - якась кількісна характеристика, яка, щоб не відбувалося, залишається постійною для всієї системи. Можна спостерігати, як ковзна шайба зупиняється, і заявити: енергія змінилася! Насправді ні: механічна енергія перейшла в теплову, частина якої розвіялася у повітрі, а частина пішла на плавлення снігу.

Мал. 1. Перехід роботи, що витрачається на подолання тертя, на теплову енергію.

Математик, Еммі Нетер, зуміла довести, що сталість енергії – прояв однорідності часу. Ця величина інваріантна щодо перенесення вздовж тимчасової координати, оскільки закони природи з часом не змінюються.

Розглянемо повну механічну енергію (E) та її види - кінетичну (T) та потенційну (V). Якщо скласти їх, то отримаємо вираз для повної механічної енергії:

$E = T + V_((q))$

Записуючи потенційну енергію, як $V_((q))$, вказуємо, що залежить виключно від конфігурації системи. Під q розуміються узагальнені координати. Це можуть бути x, y, z у прямокутній декартовій системі координат, а можуть бути будь-які інші. Найчастіше мають справу з декартовою системою.

Мал. 2. Потенційна енергія у полі тяжкості.

Математичне формулювання закону збереження енергії в механіці виглядає так:

$\frac(d)(dt)(T+V_((q))) = 0$ - похідна повної механічної енергії за часом дорівнює нулю.

У звичному, інтегральному вигляді формула закону збереження енергії записується так:

У механіці на закон накладаються обмеження: сили, що діють на систему, повинні бути консервативними (їхня робота залежить тільки від конфігурації системи). За наявності неконсервативних сил, наприклад, тертя, механічна енергія перетворюється на інші види енергії (теплову, електричну).

Термодинаміка

Спроби створити вічний двигун особливо притаманні 18-19 століть - епохи, коли було зроблено перші парові машини. Невдачі привели до позитивного результату: був сформульований перший початок термодинаміки:

$Q = \Delta U + A$ – тепло, що витрачається, витрачає на здійснення роботи і на зміну внутрішньої енергії. Це ні що інше як закон збереження енергії, але для теплових двигунів.

Мал. 3. Схема парової машини.

Завдання

Вантаж масою 1 кг, підвішений на нитки L=2 м, відхилили так, що висота підняття дорівнювала 0,45 м, і відпустили без початкової швидкості. Якою буде сила натягу нитки в нижній точці?

Рішення:

Запишемо другий закон Ньютона у проекції на вісь y у момент, коли тіло проходить нижню точку:

$ma = T – mg$, але оскільки $a = \frac (v^2)(L)$, його можна переписати в новому вигляді:

$m \cdot \frac (v^2)(L) = T - mg$

Тепер запишемо закон збереження енергії, враховуючи, що у початковому положенні кінетична енергія дорівнює нулю, а в нижній точці - потенційна енергія дорівнює нулю:

$m \cdot g \cdot h = \frac (m \cdot v^2)(2)$

Тоді сила натягу нитки дорівнює:

$T = \frac (m \cdot 2 \cdot g \cdot h)(L) + mg = 10 \cdot (0,45 + 1) = 14,5 \: Н$

Що ми дізналися?

У ході уроку розглянули фундаментальну властивість природи (однорідність часу), з якого випливає закон збереження енергії, розглянули приклади цього закону у різних розділах фізики. Для закріплення матеріалу вирішили завдання із маятником.

Тест на тему

Оцінка доповіді

Середня оцінка: 4.4. Усього отримано оцінок: 252.

Продемонструвати абсолютно непружний удар можна також за допомогою куль із пластиліну (глини), що рухаються назустріч один одному. Якщо маси куль m 1 та m 2 їх швидкості до удару , то, використовуючи закон збереження імпульсу, можна записати:

Якщо кулі рухалися назустріч один одному, то вони разом продовжуватимуть рухатися в той бік, в який рухалася куля, що має великий імпульс. У окремому випадку – якщо маси та швидкості куль рівні, то

З'ясуємо, як змінюється кінетична енергія куль при центральному абсолютно непружному ударі. Так як у процесі зіткнення куль між ними діють сили, що залежать не від самих деформацій, а від їх швидкостей, то ми маємо справу з силами, подібними до сил тертя, тому закон збереження механічної енергії не повинен дотримуватися. Внаслідок деформації відбувається «втрата» кінетичної енергії, яка перейшла в теплову або інші форми енергії ( дисипація енергії). Цю «втрату» можна визначити по різниці кінетичних енергій до та після удару: